正四面體的體積、外接球與內(nèi)切球的半徑分別是多少?

正四面體的高為√6a/3，其中中心將高分為1:3的兩部分。

其表面積為√3a2，體積為√2a3/12，對于棱中點的連線段長度，其值為√2a/2，外接球的半徑為√6a/4，正四面體的體積占外接球體積的比例約為12.517532%，即2√3/9π。

底面均為邊長為a的正三角形，通過等體積法可以求出內(nèi)切球半徑R的值，邊長為a的正四面體可以視為邊長為(√2/2)a的正方體截出的，因此其外接球直徑是正方體邊長的√3倍。

若棱長為a，則外切球半徑為√6a/4，內(nèi)切球半徑為√6a/12，正四面體由四個全等的正三角形圍成，是一個空間封閉圖形，具有相等的棱長、4個面、6條棱和4個頂點，是所有正多面體中最簡單的一種。

如何求解正四面體的外接球和內(nèi)切球半徑?

1、外接球：邊長為a的正四面體可以被看作是由邊長為(√2/2)a的正方體截出的，因此其外接球的直徑是正方體邊長的√3倍。

2、內(nèi)切球半徑：利用等體積法，可以求出邊長為a的正四面體內(nèi)切球半徑R的值。

3、正四面體的內(nèi)切球和外接球半徑推導：外接球的特征在于其“外接”，即所有頂點到球心的距離均等于半徑，而內(nèi)切球的特征在于其“內(nèi)切”，即球與正四面體的每個面均相切。

棱長為a的正四面體內(nèi)切球與外接球的半徑如何計算?

1、對于棱長為a的正四面體，其外接球的半徑等于四面體中心點到任意一個頂點的距離，求解四面體中心點到頂點的距離是關(guān)鍵。

2、在這種結(jié)構(gòu)中，原四面體的內(nèi)切球半徑r與新截出的四面體的外接球半徑R之間有直接關(guān)系：R是r的3倍。

3、由于底面是邊長為a的正三角形，我們可以利用等體積法求出內(nèi)切球半徑R的值，邊長為a的正四面體可以被看作是邊長為(√2/2)a的正方體截出的，因此其外接球的直徑是正方體邊長的√3倍。

4、設(shè)正四面體為PABC，其外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，由于結(jié)構(gòu)的對稱性，兩球的球心重合，設(shè)為O。