參數(shù)方程的曲率公式是研究曲線幾何特性的重要工具，以下是該公式的推導過程：

考慮一條由參數(shù)方程 ( r(t) = (x(t), y(t)) ) 描述的曲線，曲率 ( k ) 是曲線在特定點的彎曲程度，其數(shù)學表達式為 ( k = rac{|x'(t)y''(t) - x''(t)y'(t)|}{(x'(t)^2 + y'(t)^2)^{3/2}} )，( x'(t) ) 和 ( y'(t) ) 分別是 ( x(t) ) 和 ( y(t) ) 對參數(shù) ( t ) 的一階導數(shù)，( x''(t) ) 和 ( y''(t) ) 是它們對應的二階導數(shù)。

推導步驟：

1、定義弧長微分： 對于參數(shù)方程 ( r(t) )，弧長微分 ( ds ) 可以表示為 ( ds = sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} dt )。

2、切線方向角： 切線方向角 ( heta ) 是曲線在 ( t ) 處的切線與正 ( x ) 軸之間的夾角，其導數(shù) ( rac{d heta}{ds} ) 可以通過 ( rac{d heta}{dt} ) 和 ( rac{ds}{dt} ) 的比值得到。

3、曲率與切線方向角的關(guān)系： 曲率 ( k ) 可以表示為 ( k = rac{d heta}{ds} )，將 ( rac{d heta}{ds} ) 表達為 ( rac{d heta}{dt} ) 和 ( rac{ds}{dt} ) 的比值。

4、代入并簡化： 將 ( rac{d heta}{dt} ) 和 ( rac{ds}{dt} ) 的表達式代入 ( k ) 的定義中，經(jīng)過一系列代數(shù)運算后，可以得到參數(shù)方程的曲率公式。

通過上述步驟，我們可以得到參數(shù)方程的曲率公式，該公式不僅揭示了曲線曲率與切線方向角之間的關(guān)系，而且為計算復雜曲線的曲率提供了便捷的方法，在實際應用中，這一公式在幾何學、物理學和工程學等領(lǐng)域都有廣泛的應用。