什么是四色定理

四色定理（Four color theorem）最早起源于19世紀(jì)，由英國(guó)大學(xué)生古德里（Francis Guthrie）提出，這一數(shù)學(xué)問(wèn)題在1852年10月23日德·摩爾根（Augustus De Morgan，1806～1871）致哈密頓的一封信中得到了最初的記錄。

四色定理（Four Color Theorem）是平面幾何領(lǐng)域的一個(gè)著名定理，亦稱(chēng)為四色猜想或四色地圖定理，簡(jiǎn)而言之，該定理表述為：在平面上的任何地圖，無(wú)論其復(fù)雜程度如何，均只需四種顏色進(jìn)行染色，就能確保每?jī)蓚€(gè)相鄰區(qū)域的顏色不同。

四色定理，亦稱(chēng)四色猜想或四色問(wèn)題，被公認(rèn)為世界三大數(shù)學(xué)猜想之一，其核心內(nèi)容是：任何在平面或球面上的地圖，只需四種顏色即可完成著色，使得相鄰區(qū)域不會(huì)有相同的顏色，與之相關(guān)的，還有一個(gè)被稱(chēng)為“十色定理”的Heawood定理。

怎么用數(shù)學(xué)證明四色定理?

證明四色定理的過(guò)程充滿了挑戰(zhàn)，我們假設(shè)任意多面體均可四色染色，從而推斷出任意平面圖或地圖也可以四色染色，一個(gè)相對(duì)直觀的證明方法是將平面圖通過(guò)鏡面對(duì)稱(chēng)變換，進(jìn)而形成一個(gè)立體圖形，關(guān)鍵在于如何證明這個(gè)多面體確實(shí)可以四色染色。

四色定理的起源與地圖繪制密切相關(guān)，而地圖繪制又涉及到對(duì)球體的剖分和數(shù)學(xué)上的投影變換，我們可以嘗試將四色定理從平面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為立體問(wèn)題來(lái)處理。

四色定理在球面或平面上的表述是：對(duì)于任何平面圖，其色數(shù)X(G)不超過(guò)4，證明過(guò)程通常采用反證法：假設(shè)四色定理不成立，即存在某個(gè)平面圖必須使用五種或更多顏色來(lái)著色，通過(guò)復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和計(jì)算機(jī)輔助，我們可以證明這一假設(shè)是錯(cuò)誤的。

四色定理的應(yīng)用

1、四色定理是圖論中著色問(wèn)題的一個(gè)重要結(jié)果，圖的著色本質(zhì)上是對(duì)圖中的頂點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)記，但必須遵循特定的規(guī)則，這里的“色”實(shí)際上是一種標(biāo)簽。

2、四色定理是首個(gè)主要由計(jì)算機(jī)完成證明的數(shù)學(xué)理論，這一證明方式曾引發(fā)爭(zhēng)議，因?yàn)槠浣Y(jié)果無(wú)法通過(guò)人工直接驗(yàn)證，人們不得不對(duì)計(jì)算機(jī)程序的準(zhǔn)確性和運(yùn)行程序的硬件設(shè)備抱有充分的信任。

3、在邏輯推理中，如果我們想要證明結(jié)論R→P（其中結(jié)論是條件式），我們可以將條件式作為附加前提，進(jìn)而證明P，這就是所謂的CP規(guī)則，假設(shè)H=H1∧H2∧...∧Hn，如果我們要從前提H證明R→P，即證明H→（R→P）是永真式，那么我們只需證明H∧R→P是永真式即可。

4、四色定理的實(shí)際應(yīng)用之一是地圖繪制中的著色問(wèn)題，簡(jiǎn)而言之，我們可以將平面任意細(xì)分為不相重疊的區(qū)域，每個(gè)區(qū)域都可以用數(shù)字1、2、3、4中的一個(gè)來(lái)標(biāo)記，而相鄰區(qū)域不會(huì)得到相同的數(shù)字，這一理論雖然目前尚未完全解決，但它對(duì)數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)以及地理信息系統(tǒng)等領(lǐng)域產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。