基數(shù)（cardinal number）在數(shù)學(xué)上，是 *** 論中刻畫任意 *** 大小的一個(gè)概念。兩個(gè)能夠建立元素間一一對(duì)應(yīng)的 *** 稱為互相對(duì)等 *** 。例如3個(gè)人的 *** 和3匹馬的 *** 可以建立一一對(duì)應(yīng)，是兩個(gè)對(duì)等的 *** 。

位權(quán)，是指數(shù)制中每一固定位置對(duì)應(yīng)的單位值。

對(duì)于多位數(shù)，處在某一位上的“1”所表示的數(shù)值的大小，稱為該位的位權(quán)。例如十進(jìn)制第2位的位權(quán)為10，第3位的位權(quán)為100；而二進(jìn)制第2位的位權(quán)為2，第3位的位權(quán)為4，對(duì)于 N進(jìn)制數(shù)，整數(shù)部分第 i位的位權(quán)為N^(i-1)，而小數(shù)部分第j位的位權(quán)為N^-j。

數(shù)碼所表示的數(shù)值等于該數(shù)碼本身乘以一個(gè)與它所在數(shù)位有關(guān)的常數(shù)，這個(gè)常數(shù)稱為“位權(quán)”，簡(jiǎn)稱“權(quán)”。

我們可在基數(shù)上定義若干算術(shù)運(yùn)算，這是對(duì)自然數(shù)運(yùn)算的推廣。給定 *** X與 Y，定義 X+Y={(x,0):x∈ X}∪{(y,1):y∈ Y}，則基數(shù)和是|X|+|Y|=|X+ Y|。若 X與 Y不相交，則|X|+|Y|=|X∪ Y|。

基數(shù)積是|X||Y|=|X× Y|，其中 X× Y是 X和 Y的笛卡兒積。基數(shù)指數(shù)是|X|^|Y|=|X^Y|，其中 X^Y是所有由 Y到 X的函數(shù)的 *** 。

在有限集時(shí)，這些運(yùn)算與自然數(shù)無異。一般地，它們亦有普通算術(shù)運(yùn)算的特質(zhì)：

加法和乘法是可交換的，即|X|+|Y|=|Y|+|X|及|X||Y|=|Y||X|。

加法和乘法符合結(jié)合律，(|X|+|Y|)+|Z|=|X|+(|Y|+|Z|)及(|X||Y|)|Z|=|X|(|Y||Z|)

分配律，即(|X|+|Y|)|Z|=|X||Z|+|Y||Z||=|X||Y|+|X||Z|。

無窮 *** 的加法及乘法（假設(shè)選擇公理）非常簡(jiǎn)單。若 X與 Y皆非空而其中之一為無限集，則|X|+|Y|=|X||Y|= max{|X|,|Y|}。

記 2 ^| X|是 X的冪集之基數(shù)。由對(duì)角論證法可知 2 ^| X|>| X|，是以并不存在最大的基數(shù)。事實(shí)上，基數(shù)的類是真類。

還有些關(guān)于指數(shù)的有趣性質(zhì)：

|X|^0= 1(很奇怪地 0^0= 1)。

0^|Y|= 0若 Y非空。

1^|Y|= 1。

|X|≤|Y|則|X||Z|≤|Y||Z|。

若|X|和|Y|均為有限集且大于 1，而 Z是無窮集，則|X||Z|=|Y||Z|。

若 X是無窮集而 Y是非空的有限集，則|X||Y|=|X|。

十進(jìn)制（decimal）是一種數(shù)制，它的特點(diǎn)是逢十進(jìn)一。對(duì) *** 進(jìn)行分類的一種方式是依據(jù)它們之間的對(duì)等關(guān)系。任何兩個(gè)具有相互對(duì)應(yīng)關(guān)系的 *** 都可以被歸入同一類別。通過這種方式，每一個(gè) *** 都被準(zhǔn)確地劃分到了其所屬的類別中。一個(gè) *** 所歸屬的類別被稱為該 *** 的基數(shù)，用符號(hào)|A|（或cardA）來表示。當(dāng)兩個(gè) *** A和B屬于同一類別時(shí)，它們的基數(shù)是相同的，即|A|=|B|。相反，如果A和B不屬于同一類別，它們的基數(shù)也將不同。

舉例來說：

基數(shù)的概念在數(shù)學(xué)中特別重要，特別是在 *** 論中?；鶖?shù)是描述任意 *** 大小的關(guān)鍵概念。當(dāng)兩個(gè) *** 的每一個(gè)元素都能與另一個(gè) *** 的元素建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系時(shí)，這兩個(gè) *** 就被認(rèn)為是互相對(duì)等的。例如，一個(gè)由三個(gè)人組成的 *** 和一個(gè)由三匹馬組成的 *** 可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，它們就是兩個(gè)對(duì)等的 *** 。

序數(shù)的概念則是 *** 論中的另一個(gè)基本概念，它是日常使用中的第一、第二等表示次序的數(shù)的擴(kuò)展。序數(shù)概念是基于良序集的概念而建立的，而良序集又是偏序集和全序集的特殊情況。在數(shù)學(xué)中，序數(shù)常常被用來表示 *** 中元素的排列順序或者某種特定的次序關(guān)系。

無論是基數(shù)還是序數(shù)，它們都是數(shù)學(xué)中 *** 論的重要概念，對(duì)于理解 *** 的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)都有著重要的意義。